根據達朗貝爾審斂法，收斂半徑R滿足：如果冪級數滿足，則：ρ是正實數時，R=1/ρ；ρ= 0時，R=+∞；ρ=+∞時，R=0。根據根值審斂法，則有柯西-阿達馬公式。或者，復分析中的收斂半徑將一個收斂半徑是正數的冪級數的變量取為復數，就可以定義一個全純函數。

收斂圓上的斂散性

如果冪級數在a附可展，并且收斂半徑為r，那么所有滿足|za|=r的點的集合（收斂圓盤的邊界）是一個圓，稱為收斂圓。冪級數在收斂圓上可能收斂也可能發散。即使冪級數在收斂圓上收斂，也不一定絕對收斂。

例1：冪級數的收斂半徑是1并在整個收斂圓上收斂。設h(z)是這個級數對應的函數，那么h(z)是例2中的g(z)除以z后的導數。h(z)是雙對數函數。

例2：冪級數的收斂半徑是1并在整個收斂圓上一致收斂，但是并不在收斂圓上絕對收斂。

收斂半徑一般的推導

用第n+1項除以第n項,整個的絕對值,小于1,解出x(或x-a這決定于你級數的展開)的絕對值小于的值就是收斂半徑收斂域就是求使其收斂的所有的點構成的區域。

比如收斂半徑是r,求收斂域,就是判斷x(或x-a)的對值r時必發散,所以只要判斷=r時的兩個點是否收斂即可,如過有收斂就把該點并到